“分形”是Benoit.B.Mandelbrot在1975年提出的[1]，其原意是“不規則的、分數的、支離破碎”的物體。分形具有兩個重要特征，即自相似性和標度不變性。“分形天線”一詞是在1993年IEEE年會上出現的，在1995年8月Cochen發表了分形天線的第一篇論文[2]。分形天線是指基于分形結構而設計的天線。分形結構的自相似特性和標度不變特性在分形天線的設計中體現為多頻帶特性和尺寸縮減特性。此外，分形天線和分形天線陣具有低的旁瓣電平[3-5]。

　　傳統的Koch曲線采用角度為60°的三角形加載，本文突破常規，在保持天線高度不變的條件下，研究了角度分別為30°、45°、60°、75°時，標簽天線的性能，并研究了不同階數時的天線性能。在此基礎上，設計并制作了基于Koch和Hilbert聯合加載的電子標簽，該標簽不僅具有較好的性能，而且簡單、便攜、便于應用。

　　1 分形結構原理

　　在歐式空間中，人們習慣于整數維數，不會出現小數。而分形理論打破常規，把維數從整數推廣到了分數。分形曲線的分數維是一個特征數，用來度量結構的不平度、復雜性、卷積度等，可以是小數。即物體或者集合圖形的維數可以是連續變化的。對于具有自相似結構的分形圖形，其維數D是下列方程的解：

　　式中kn為初始曲線的拷貝數，hn為縮放比例，n為縮比尺度數。

　　1.1 Koch曲線分形技術

　　Koch分形幾何是在1904年被瑞典科學家Helgevon Koch提出的。Koch分形幾何是由仿射變換集的迭代函數系統(IFS)生成。

　　Koch曲線因其具有很強的空間填充屬性，因而近年來在實現天線小型化設計中受到廣泛的重視和深入研究。由于Koch曲線的拷貝數為4，縮放比例為3，代入式(1)可以求得Koch曲線的分形維數為1.262，所以，它是介于一維和二維之間的圖形。

　　Koch曲線的迭代過程如圖1所示：將偶極子天線的兩臂分為三等分，將中間的三分之一臂長換為兩個等長且相交60°的線段，就得到1階Koch曲線，依此類推可以得到高階Koch曲線。這樣不難知道，曲線的總長為L=h×(4/3)n, h為曲線的高度， n為分形階數。其數學推導可以由仿射變換(IFS)得到[6]。

　　其中，a、b、c、d、e、f均為實數，a、b、c、d表示旋轉和收縮，e、f表示位移。w為仿射變換。x1，x2分別為分段點處的坐標。將仿射變換寫為:

　　式中,W為Hutchinson算子，w為仿射變換，A為幾何整體，m為拷貝數。

　　對于Koch曲線，拷貝數m為4，θ=0°，60°，-60°，0°，r=1/3,根據Koch的迭代原理，算出位移。根據參考文獻[6]，Koch曲線的迭代如下所示。

　　1.2 Hilbert曲線分形技術

　　Hilbert分形具有松散的自相似特性：0階Hilbert是一個正方形輪廓的“半環”結構，設其邊長為b、1階是用0階的結構來填充每條邊，從而在每條邊上形成“半環”結構，設其邊長為a，將a/b稱為Hilbert分形的比例系數，如圖2示。

　　由圖2可見，1，2，3，...，n階Hilbert分形的輪廓面積與0階的完全一致，即無論迭代多少次，Hilbert分形的輪廓面積保持不變，且始終只有2個端點。

　　分析可得，n階Hilbert分形的總長度可由如下的(6)式算得。例如：n取0、1、2、3時，分別為：3b、5b、9b、17b。

　　Vinoy等人在參考文獻[7][8]中詳細探討了Hilbert曲線在設計緊湊型諧振天線應用后發現，Hilbert分形天線的尺寸減小到λ/10時，性能卻同λ/2偶極子相似。而Zhu在參考文獻[9]中研究了饋點位置對Hilbert分形天線輸入阻抗的影響，結果發現，無論迭代的次數多少，中心饋電的輻射電阻很小，但恰當地選擇偏心饋電總能提供50 Ω的匹配阻抗。

　　2 分析與研究

　　2.1 階數對天線性能的影響

　　基于Koch曲線的偶極子天線的不同階數的模型如圖3所示。天線的高度為120 mm，線寬為0.5 mm，角度為60°，銅箔厚度為0.015 mm。

　　利用基于FDTD算法的電磁仿真軟件Ansoft HFSS 10.0進行仿真，仿真結果如圖4所示。

　　從圖4可以看到，對于0階天線，其諧振在1.17 GHz，在保持天線高度不變的條件下，隨著階數的增加，天線的物理尺寸加長，從而使諧振頻點下降，輻射電阻增大;盡管在不同的階數對應不同的諧振頻率，但是方向圖依然具有普通偶極子的性質。需要說明的是，這里選擇天線的高度不變，而不是選擇天線線寬不變，這是因為，根據參考文獻[10]的推導，天線的輻射功率因子與天線的有效體積成正比。由于輻射功率因子衡量的是輻射的實際功率和電抗功率之比，所以輻射功率因子越大越好，即要求天線的有效體積越大越好?；堇諏Ρ攘溯S線型對稱陣子和方環的有效體積，其結論是：雖然細導線和粗圓錐的實際尺寸大不相同，但是有效體積相差甚小。這是因為天線的有效體積受長度的影響較大，受橫向尺寸影響較小所致。所以，這里的對比是以天線高度不變為條件的。

　　2.2 角度對天線性能的影響

　　對于Koch曲線，傳統的研究都是在角度為60°的條件下設計模型的。這里分別研究了角度為30°、45°、60°和75°的基于一階Koch曲線的天線性能。根據以上的分析，這里依然選擇天線高度為120 mm保持不變，線寬0.5 mm，銅箔厚度為0.015 mm。依此設定構造的模型如圖5所示，仿真分析結果如圖6所示。

　　圖6的仿真結果表明，隨著角度的增加，天線的諧振頻率下降，但方向圖不會受很大影響。不同的是天線的增益。因為當保持中間1/3長度不變時，不同的角度將分別構成底角為30°、45°、60°和75°的等腰三角形，由于角度的不同導致兩腰的長度之和不同，這樣，隨著角度的增大，天線的物理尺寸就相應地增長，從而導致諧振頻率下降。需要說明的是，當角度發生變化時，Koch曲線的拷貝數為4，但縮放比例不為3，因此，分形維數不再是1.262。

　　3 設計與應用

　　基于以上分析，這里設計一款基于Koch曲線和Hilbert曲線聯合加載的具有靜電防護功能的電子標簽。天線的尺寸為55 mm×10 mm，銅箔厚度為0.015 mm，天線蝕刻在0.05 mm的PET材料上。所選用的標簽芯片在915 MHz，對外呈現的阻抗為Z=18.1-j149Ω。標簽模型如圖7所示。

　　盡管Koch曲線的高次迭代曲線可以實現預期的天線指標，高次迭代的曲線在理論上是可行的，但是，在實際應用中高次迭代的曲線結構復雜，受制作工藝水平的限制。所以，這里的天線兩臂是采用Koch曲線加載，而短路環采用Hilbert曲線加載。這樣設計的優點不僅達到了天線尺寸的縮減，而且Hilbert曲線構成的環狀結構，不僅通過感性加載抵消芯片的容性，而且在直流狀態下，對標簽芯片構成短路，通過環狀銅箔本身的電阻對靜電放電，實現對標簽芯片的靜電保護。在仿真調試中發現，Hilbert環的高度對天線性能的影響比較大，而加載的位置對天線的性能影響比較小，從而可以通過改變Hilbert環的高度來對標簽天線進行調諧。

　　從圖8可以看到，在頻率為900 MHz，天線的VSWR=1.13，增益為1.87 dB，從圖8(c)可以看到，相對于普通偶極子，該天線的尺寸縮減了約60%，但是卻具有普通偶極子的低方向性。用遠望谷公司的XCRF-804閱讀器，在功率為20 dBm(0.1W)時，測得閱讀距離為2.5～3 m。目前該標簽用于鞋廠對出廠產品的不開箱檢測。

　　對于電子標簽而言，由于標簽天線作為標簽芯片與閱讀器實現通信的接口。因此，標簽天線性能的好壞將決定RFID系統的靈敏度和閱讀器讀寫的距離。標簽天線設計的總體目標是設計結構緊湊，外形輪廓小巧，高增益，低副瓣。而分形天線工程是實現這一目標的方案之一。

　　本文研究了決定基于Koch曲線的標簽天線性能的兩個主要因素，即角度和階數。通過仿真和調試發現，隨著角度和階數的增大，天線的諧振頻率下降。這對天線的小型化設計提供了重要的指導。此外，基于實際應用的考慮，設計了一款基于Koch和Hilbert曲線聯合加載的標簽天線，不僅具有小的天線尺寸，較好的增益和帶寬，而且結構簡單，便于調諧，完全滿足實際應用的需要。